JMI(Jeonkwangil Mathematics Institution)_제이미 수학공부법#1
개념 제대로 알아야, 문제풀이는 개념과 연결, 모의고사 만들어 풀기
1. 개념 공부는 매일매일
공부는 매일매일 해야 한다것은 다들 알고 있다. 물론 우리 모두 인간이니 반복적인 학습을 통해 익혀나가야 한다는 것은 생물학적 공통점일 것이다. 수학 공부를 할 때, 매일매일 해야 하는 것은 개념정리 및 암기라고 말해주고 싶다. 수학은 모든 가능한 규칙을 다루는 학문이다. 쉽게 얘기해서 규칙의 과학인 것이다. 수학은 보이지 않는 것을 보이게 만드는 것을 도울 수 있다. 보이지 않기 때문에 그 무엇보다도 정의하기 어렵고 성질을 이해하기 힘들다. 그리고 모든 개념이 논리적으로 연결되어 있다. 마치 체인의 중간이 떨어져 나가면 자전거를 탈 수 없는 것과 마찬가지로 중간에 한번 개념을 이해하지 못하고 넘어가면 그 뒤로는 이해하기 힘들다.
수학의 문제들은 개념을 이해하고 활용 할 수 있는지 물어본다. 그런데 개념을 이해하지 않고 문제를 푼다는 것은 게임 룰도 모르고 게임을 하는 것과 같다. 그러므로 수학에서 가장 중요한 것은 개념의 이해이다. 수학의 개념은 크게 세 가지로 구분할 수 있다.
첫째, 정의(definition)이다. 정의는 증명할 수 없다는 것은 중학생도 알고 있다. 즉 정의는 외워야 한다. 법대생이 법전을 외우고 있듯이 수학을 공부하는 사람들은 정의를 외우고 있어야 한다. 초등학생에게 가장 흔히 하는 질문은 도형에 대한 정의이다. 우리는 사각형 부분이 나오면 여지없이 학생에게 직사각형의 정의를 질문한다. 초등학생은 정의라는 단어자체가 생소하다. 어쨌든 학생들은 대답한다. 역시 우리가 예상할 수 있는 답변이다. 학생들 모두 ‘네모난거요.’라고 답한다. 우리가 중학교 1학년 수업에서 제일 많이 하는 질문이 ‘유리수의 정의가 뭘까?’이다. 그러면 열에 하나는 ‘분수요.’라고 답한다. 그리고 열에 아홉은 대답을 못한다. 유리수의 정의도 모르는 학생들에게 유리수의 사칙연산을 가르치고 있다니. 유리수의 정의를 모르니, 중학교 3학년 과정에서 무리수의 정의를 질문하면 모르는 것이 당연하다. 악순환이다. 좀 더 상급학년의 미적분 시간에 자주하는 질문은 ‘미분계수의 정의가 무엇인가요?’이다. 이건 당연히 모른다. 미분이라는 개념은 고등수학에서 자세히 다루지 않으므로 미분계수가 미분에 곱한 수라는 것을 알 수 없다. 그러나 적어도 미분계수의 극한에 의한 정의는 대답할 수 있어야 한다. 교육자들이 정의의 중요성을 강조하면서 정의를 외우는 습관을 길러줘야 한다. 이것이 조언자가 해야 할 책임과 의무 아닐까?
둘째, 성질 또는 정리(theorem)이다. 정의로부터 만들어지는 성질은 증명을 해야 한다. 쉽게 얘기해서 그놈의 성질이 무엇인지 근거를 대고 밝혀내야 하는 것이다. 그 근거는 정의 또는 다른 성질이 될 수 있다. 대부분의 수학 교육자들은 증명을 즐겨하지 않고 성질을 정의처럼 외우게 강요한다. 일부 교육자들은 수업시간을 적당히 때우기 위해 칠판에 어려운 증명을 하나가득 베껴쓰기만을 반복하다가 수업이 끝나면 뒤도 돌아보지않고 나간다. 성질을 무작정 외워야 한다고 주장하는 교육자들은 대단한 것을 알려주는 것처럼 아주 우스꽝스러운 표정을 하면서 ‘이건 그냥 외워!’라고 외친다. 성질을 외워야 하는 것은 맞다. 그렇지만 ‘그냥’이 틀렸다. 이러한 교육자에게 성질의 증명과정을 물어보는 문제가 출제가 되더라도 학생들에게 그냥 외우라고 말 할 것인지 묻고 싶다. 이렇게 배운 학생들은 속편하게 외워버린다. 그것조차 하지 않는 학생들은 수포자가 되는 것이다. 우리는 증명해야하는 성질과 증명하지 말아야할 성질을 구분시켜준다. 학생의 수준에서 할 수 있는 증명이 있고 하지 못하는 증명이 있기 때문이다. 중학교 과정에서는 대부분의 성질이 증명 가능하지만 고등학교 과정에서는 학생들이 증명할 수 없는 부분이 분명 존재한다. 이것은 교육자가 명확히 알려줘야 한다. 때때로 학생들은 정의와 성질을 혼돈한다. 중학교 2학년 학생에게 이등변삼각형의 정의가 무엇이냐고 질문하면 ‘밑변의 두 각이 같고요, 두 변의 길이도 같아요.’라고 답한다. 이건 어떤 것이 정의고 어떤 것이 성질인지 구분 못하는 대표적인 대답이다.
셋째, 공식이다. 공식에서는 공식의 가정이 반이고 공식이 반이다. 대부분의 학생들이 가정을 모르고 공식만 외우다보니 공식을 활용하는 능력이 떨어진다. 그리고 ‘저는 활용문제를 못 풀어요.’라고 말하며 울상을 짓는다. 공식이 어디에 적용되는지도 모르니 쓸 수 없다는 말이다. 이것은 목수가 망치는 있는데 망치를 어디다 써야 하는지 모르는 것과 같다. 공식은 말 그대로 공식이다. 적용될 수 있는 상황이 특별하게 존재한다는 것이다. 예를 들어 이차방정식의 근의 공식은 a, b, c가 상수이고 이차방정식이 ax^(2)+bx+c=0(단, a는 0이 아니다.)일 때 성립한다. 이 가정이 성립하지 않는다면 근의 공식은 무용지물이다. 하지만 기억나는 것이 이것뿐인지라 그냥 사용한다. 공식은 특수한 상황에서 유용하게 사용할 수 있기 때문에 반드시 외워서 활용해야 한다. 그러나 가정도 마찬가지로 반드시 같이 외우고 있어야 한다. 문제분석의 단계에서 특수한 상황을 인식하면서 가정을 포착해 내야한다. 그래야 우리의 연장을 쓸 수 있게 된다. 우리는 이러한 인식과정을 스케치라 부른다.
2. 문제풀이는 개념으로 설명할 수 있어야 한다.
수학은 전 세계 어디에서 공부하더라도 문제풀이 중심으로 이루어진다. 수학 교육자 대다수도 그렇게 공부해왔고 지금도 그렇게 가르친다. 문제를 많이 풀어서 익숙해지는 것도 좋은 방법이다. 그러나 풀이과정을 개념으로 설명하지 못한다면 그것은 축구선수가 시합 내내 왜 달려야 하는지도 모르고 달리는 것과 같다. 그렇게 경기를 한다면 체력만 낭비하다가 결국에 시합에서는 패한다. 학생들은 그렇게 공부해왔기 때문에 성적도 안 나오고 스트레스 받다가 결국에 수학을 포기한다. 스트레스라도 받으면 그나마 다행이다.
학원을 다녀보겠다고 상담을 신청한 학생과 그의 부모님과 상담을 하다보면 대표적인 불만이 학교든 학원이든 교육자에게 문제풀이에 대한 질문을 하면 짜증을 내거나 속시원이 답을 안해준다는 것이다. 이것은 학생이 이해해야 한다. 그들도 잘 모르기 때문이다. 그나마 교습료가 비싼 학원의 교육자는 ‘톡’으로 답안지를 찍은 사진을 보내주는 성의라도 보인다. 3년 전, 어떤 학생의 경우-이 학생은 약 2년 간 우리에게 교육을 받고 수시모집에서 이화여대를 비롯해 6개 학교 모두 합격을 했고, 현재 ‘서울교대’에 재학 중-함수의 극한 문제 풀이가 이해되지 않아 전에 다니던 학원 교육자에게 질문을 했더니 ‘그런 건 대학가서 배워!’라고 꾸중을 하더라는 것이다. 이 학생은 더 이상은 안되겠다 싶어 학원을 옮겨야겠다고 결심했다는 것이다. 이건 무슨 뚱딴지 같은 소리인가. 그 사람은 교육자의 의무를 다하지 않고 있는 것이었다. 궁금한 것이 있어서 교육자에게 질문을 하면 그는 오히려 질문한 학생을 혼내고 친구들에게 웃음거리로 만들어버린다. 사실 극한의 개념은 쉽지 않다. 그리고 질문에 대한 답은 명백히 개념으로 풀이과정을 설명해야 이해를 시킬 수 있다. 고등학교 수학은 ‘그런게 있구나’ 정도를 배우는 과정이다. ‘그런게 있구나’ 정도를 가르치기 위해서는 정의와 성질 또는 정리가 어떻게 증명이 되는지 정확히 알고 있어야 한다. 가끔 미적분 시간에는 설명해주기 애매한 경우도 더러 있다. 대표적인 것이 로그함수의 극한을 설명할 때, 극한과 로그의 순서를 바꿔서 계산을 하더라도 성립한다는 것을 고등학생에게 증명해준다는 것은 어려운 일이다. 이 학생들은 실해석학을 공부해본 적이 없지 않은가. 이럴 때는 고등학교 수학 수준으로 간단하게 설명하고 ‘이것은 고등학생의 수준을 벗어나는 개념이다.’라고 조언하면 된다.
대다수 학생들은 문제의 유형과 풀이과정을 외우는 것에 시간을 보낸다. 좋은 방법이다. 다양한 유형과 풀이과정을 익힌다는 것은 아주 중요하다. 그런데 여기서 풀이과정을 개념으로 설명할 수 있는지가 더 중요하다. 평소 학생들이 잘 틀리는 문제에서 어떤 학생의 풀이과정이 너무 완벽할 때, 우리는 질문한다. ‘이거 왜 이렇게 풀어야 하지?’ 그러면 학생은 당황해한다. 그리고 버벅대기 시작한다. 난 단지 외웠을 뿐인데. 우리는 학생이 답을 하지 못한다는 것을 알고 질문한다. 왜냐하면 바로잡아줘야 하기 때문이다. 이것이 하나하나 쌓이면 손쓸 수 없이 거대한 쓰레기 더미가 된다. 그리고 어떠한 정의, 공식, 성질에 의해서 이 풀이과정이 나오게 됐는지 설명할 수 있을 때 까지 피드백과정을 거친다. 이것을 우리는 ‘밀착수업’이라 부른다.
3. 모의고사 만들어 풀기 인간은 망각의 동물이다. 즉, 잘 잊는다. 특히, 수학은 이것이 더 심하다. 앞의 것을 잊으면 뒤의 것도 잊는다. 왜냐하면 수학은 처음부터 끝까지 연결되어 있기 때문이다. 그러다가 시험 전 날에는 머리가 하얗게 된다. 이러한 현상을 방지하기 위해서는 공부 방법을 바꿔야 한다. 보통 공부를 할 때 세로로 한다. 세로로 한다는 것은 단원 별로 공부한다는 것이다. 단원 별로 공부하는 것은 처음 개념공부를 할 때 좋은 방법이다. 보통 개념+유형이나 개념원리 등의 개념문제집이 이렇게 구성되어 있다. 세부적으로 꼼꼼히 학습할 수 있는 장점이 있다. 그러나 시험은 시험이다. 우리는 학생들에게 시험 대비를 할 때에는 가로로 공부하라고 조언한다. 상담을 할 때, 학부모로부터 두 번째로 많이 듣는 말이 ‘우리 애는 공부도 많이 하고 열심히 하는데 성적이 생각만큼 안 나와요.’이다. 이러한 유형의 학생은 1개월 내에 모든 것을 바꿔줄 수 있다. 성실하기 때문이다. 그리고 우리의 교육방법을 스펀지처럼 쭉쭉 흡수한다. 방법은 이렇다. 개념을 명확히 이해시키고 문제의 적용하는 방법을 설명해준 다음 지금까지 풀어본 문제들을 이러한 사고 과정으로 다시 풀어보게 한다. 그리고 마지막으로 시험대비용 모의고사 문제를 만들어 반복적으로 훈련을 시키면 된다. 시험대비용 모의고사 문제를 통해 얻을 수 있는 것은 시험범위 전체의 모든 개념과 성질, 공식을 문제에 적용하는 방법을 터득함과 동시에 응용문제에 대한 적응력이다. 개념들이 결합된 동일한 문제를 반복적으로 학습하고 평가받음으로써 놀랍게도 다른 유형의 문제를 해결할 수 있는 능력이 생기는 것이다. 반복학습은 인간의 능력을 극대화하는 방법 중의 하나이다. 우리는 2002년 한일월드컵, 대한민국 대표팀의 히딩크 감독으로부터 이러한 기적을 경험했다. 반복적인 체력 훈련이 중요한 포인트였다. 우리는 그에게서 강한 기초 체력 위에 기술과 전술이 더해질 수 있다는 교훈을 배웠다. 동일한 문제로 반복학습을 하는 것은 축구선수의 체력 훈련과 같다. 그리고 기술과 전술은 다양한 응용문제로 볼 수 있다. 더 이상 설명하지 않더라도 무슨 느낌인지 알 것이다. 이 과정을 잘 따르는 학생은 자신이 다니고 있는 학교 교과서의 모든 문제와 올림포스(EBS)의 모든 문제를 완벽히 풀어냈을 때 보통 2등급은 충분히 받아왔다. 학교 교과서와 올림포스의 모든 문제를 정해진 시간 내에 풀어낸다면 다음 단계로 넘어가도 좋다. 다양한 유형을 접하기 위해 다른 학교 교과서의 문제와 시험대비를 위해 만들어진 모의고사 문제를 훈련하는 것이 좋다. 이 단계까지 완성이 되면 꿈에 그리던 수학 1등급이다. 이 방법은 위에서 언급한 서울교대에 진학한 학생과 우리가 실험한 결과물이다. #조원동수학학원 #조원동수학교습소 #고등수학 #중등수학 #초등수학 #수학인강 #유튜브인강 #수학공식 #교습소시간표 #학원시간표 #전광일수학 #전광일수학교습소 #수학공부법 #시험대비 #수학시험대비